Calcolo Esempi

$y = \sin (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (6 x)$ e $g (x) = \ln (\sin^{2} (6 x))$ .

$\sin (6 x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin^{2} (6 x))] + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin^{2} (6 x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin^{2} (6 x)$ .

$\sin (6 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\sin (6 x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin^{2} (6 x)$ .

$\sin (6 x) (\frac{1}{\sin^{2} (6 x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 3

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (6 x)}$ a $\csc^{2} (6 x)$ .

$\sin (6 x) (\csc^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (6 x)$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (6 x)$ .

$\sin (6 x) \csc^{2} (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\sin (6 x) \csc^{2} (6 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (6 x)$ .

$\sin (6 x) \csc^{2} (6 x) (2 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 5

Eleva $\sin (6 x)$ alla potenza di $1$ .

$\csc^{2} (6 x) (2 (\sin^{1} (6 x) \sin (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 6

Eleva $\sin (6 x)$ alla potenza di $1$ .

$\csc^{2} (6 x) (2 (\sin^{1} (6 x) \sin^{1} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\csc^{2} (6 x) (2 {\sin (6 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\csc^{2} (6 x) (2 \sin^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\csc^{2} (6 x)$ .

$2 \cdot \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Passaggio 9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $6 x$ .

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 9.2

La derivata di $\sin (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\cos (u_{3})$ .

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $6 x$ .

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 10

Differenzia.

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Passaggio 10.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 10.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 10.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) \cdot 1 + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 10.4

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Passaggio 11.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $6 x$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 11.2

La derivata di $\sin (u_{4})$ rispetto a $u_{4}$ è $\cos (u_{4})$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $6 x$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 12

Differenzia.

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Passaggio 12.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

Passaggio 12.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 12.3.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x) \cdot 6$

Passaggio 12.3.2

Sposta $6$ alla sinistra di $\ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x)$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cdot (\ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Riordina i termini.

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

Passaggio 13.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.2.1

Riscrivi $\csc (6 x)$ in termini di seno e coseno.

$12 {(\frac{1}{\sin (6 x)})}^{2} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

Passaggio 13.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (6 x)}$ .

$12 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

Passaggio 13.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \frac{1}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

Passaggio 13.2.4

$12$ e $\frac{1}{\sin^{2} (6 x)}$ .

$\frac{12}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

Passaggio 13.2.5

Elimina il fattore comune di $\sin^{2} (6 x)$ .

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Passaggio 13.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

Passaggio 13.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$12 \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$