Calcolo Esempi

$\frac{x}{x - y}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x}{x - y}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x - y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x - y}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{1}{x - y}$ come ${(x - y)}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = x - y$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x - y])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x - y])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - y$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [x - y])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]))$

Passaggio 3.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [- y]))$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 3.5

Moltiplica.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (1 {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ${(x - y)}^{- 2}$ per $1$ .

$x ({(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x ({(x - y)}^{- 2} \cdot 1)$

Passaggio 3.7

Moltiplica ${(x - y)}^{- 2}$ per $1$ .

$x {(x - y)}^{- 2}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 4.2

$x$ e $\frac{1}{{(x - y)}^{2}}$ .

$\frac{x}{{(x - y)}^{2}}$