Calcolo Esempi

$x e^{\frac{x}{y}}$

Passaggio 1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x e^{\frac{x}{y}}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = \frac{x}{y}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{y}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$x (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Passaggio 3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x}{y}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x (e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Passaggio 4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Passaggio 7.2

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [y^{- 1}])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- y^{- 2}))$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- \frac{1}{y^{2}}))$

Passaggio 9.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 9.2.1

$e^{\frac{x}{y}}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x^{2} (- \frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}})$

Passaggio 9.2.2

$x^{2}$ e $\frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$