Calcolo Esempi

$\frac{x - y}{x + y}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = x - y$ e $g (y) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{(x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [- y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{(x + y) (- \frac{d}{d y} [y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (- 1 \cdot 1) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + y) \cdot - 1 - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x + y$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi $- 1 (x + y)$ come $- (x + y)$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x - y - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x - y - x - - y}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- - y$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- x - y - x + 1 y}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{- x - y - x + y}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $- x - y - x + y$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $- y$ e $y$ .

$\frac{- x - x + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- x - x$ e $0$ .

$\frac{- x - x}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{- 2 x}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x}{{(x + y)}^{2}}$