Calcolo Esempi

$(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Espandi $(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{x} (e^{- x} + 1) + 1 (e^{- x} + 1) d x$

Passaggio 1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{- x} + 1) d x$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int e^{x - x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.2.1.1.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$\int e^{0} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.2.1.2

Semplifica $e^{0}$ .

$\int 1 + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.2.1.3

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\int 1 + e^{x} + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.2.1.4

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.2.1.5

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 d x$

Passaggio 1.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$\int 2 + e^{x} + e^{- x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 d x + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$2 x + C + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$2 x + C + e^{x} + C + \int e^{- x} d x$

Passaggio 5

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 x + C + e^{x} + C + \int - e^{u} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 x + C + e^{x} + C - \int e^{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$2 x + C + e^{x} + C - (e^{u} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$2 x + e^{x} - e^{u} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$2 x + e^{x} - e^{- x} + C$