Calcolo Esempi

$\frac{x - 1}{x^{2} + 6 x + 9}$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{x - 1}{x^{2} + 6 x + 3^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 1.1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{x - 1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{x - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{B}{x + 3}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di ${(x + 3)}^{2}$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi $x - 1$ per $1$ .

$x - 1 = \frac{(A) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x - 1 = \frac{A {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$x - 1 = A + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.2

Elimina il fattore comune di ${(x + 3)}^{2}$ e $x + 3$ .

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Passaggio 1.1.6.2.1

Scomponi $x + 3$ da $(B) {(x + 3)}^{2}$ .

$x - 1 = A + \frac{(x + 3) (B (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.6.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$x - 1 = A + \frac{(x + 3) (B (x + 3))}{(x + 3) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x - 1 = A + \frac{(x + 3) (B (x + 3))}{(x + 3) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x - 1 = A + \frac{B (x + 3)}{1}$

Passaggio 1.1.6.2.2.4

Dividi $B (x + 3)$ per $1$ .

$x - 1 = A + B (x + 3)$

Passaggio 1.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x - 1 = A + B x + B \cdot 3$

Passaggio 1.1.6.4

Sposta $3$ alla sinistra di $B$ .

$x - 1 = A + B x + 3 B$

Passaggio 1.1.7

Riordina $A$ e $B x$ .

$x - 1 = B x + A + 3 B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = A + 3 B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = B$

$- 1 = A + 3 B$

$1 = B$

$- 1 = A + 3 B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $B = 1$ .

$B = 1$

$- 1 = A + 3 B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1$ in ogni equazione.

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Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $- 1 = A + 3 B$ con $1$ .

$- 1 = A + 3 (1)$

$B = 1$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.2.2.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 1 = A + 3$

$B = 1$

$- 1 = A + 3$

$B = 1$

$- 1 = A + 3$

$B = 1$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $A$ in $- 1 = A + 3$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A + 3 = - 1$ .

$A + 3 = - 1$

$B = 1$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 1 - 3$

$B = 1$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$A = - 4$

$B = 1$

$A = - 4$

$B = 1$

$A = - 4$

$B = 1$

Passaggio 1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = - 4 B = 1$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - 4, B = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{B}{x + 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- 4}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{x + 3}$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{4}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{4}{{(x + 3)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{4}{{(x + 3)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- (4 \int \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} d x) + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 6

Sia $u_{1} = x + 3$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = x + 3$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- 4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- 4 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 4 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = x + 3$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = x + 3$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

$- 4 (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$4 \frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11.2.2

$4$ e $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{4}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 3$ .

$\frac{4}{x + 3} + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 3$ .

$\frac{4}{x + 3} + \ln (| x + 3 |) + C$