Calcolo Esempi

$(1 - t) e^{2 t - t^{2}}$

Passaggio 1

Sia $u = 2 t - t^{2}$ . Allora $d u = (2 - 2 t) d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (1 - t) d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 2 t - t^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 t - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [2 t - t^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t - t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 - (2 t)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 - 2 t$

Passaggio 1.1.5

Riordina i termini.

$- 2 t + 2$

Passaggio 1.1.6

Rimetti in ordine i termini.

$2 - 2 t$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t - t^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 t - t^{2}} + C$