Calcolo Esempi

$z \ln (x^{2} y \cos (z))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = z$ e $g (z) = \ln (x^{2} y \cos (z))$ .

$z \frac{d}{d z} [\ln (x^{2} y \cos (z))] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ è $f' (g (z)) g' (z)$ dove $f (z) = \ln (z)$ e $g (z) = x^{2} y \cos (z)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} y \cos (z)$ .

$z (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$z (\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} y \cos (z)$ .

$z (\frac{1}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{x^{2} y \cos (z)}$ e $z$ .

$\frac{z}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 3.2

Poiché $x^{2} y$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $x^{2} y \cos (z)$ rispetto a $z$ è $x^{2} y \frac{d}{d z} [\cos (z)]$ .

$\frac{z}{x^{2} y \cos (z)} (x^{2} y \frac{d}{d z} [\cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 3.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.3.1

$x^{2}$ e $\frac{z}{x^{2} y \cos (z)}$ .

$\frac{x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)} (y \frac{d}{d z} [\cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 3.3.2

$y$ e $\frac{x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)}$ .

$\frac{y (x^{2} z)}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 3.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} z}{x^{2} \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} z}{x^{2} \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{z}{\cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 4

La derivata di $\cos (z)$ rispetto a $z$ è $- \sin (z)$ .

$\frac{z}{\cos (z)} (- \sin (z)) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 5

$\frac{z}{\cos (z)}$ e $\sin (z)$ .

$- \frac{z \sin (z)}{\cos (z)} + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 6

Converti da $\frac{z \sin (z)}{\cos (z)}$ a $z \tan (z)$ .

$- (z \tan (z)) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- z \tan (z) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \cdot 1$

Passaggio 8

Moltiplica $\ln (x^{2} y \cos (z))$ per $1$ .

$- z \tan (z) + \ln (x^{2} y \cos (z))$