Calcolo Esempi

$\arctan (\frac{x + y}{1 - x y})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \arctan (y)$ e $g (y) = \frac{x + y}{1 - x y}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = x + y$ e $g (y) = 1 - x y$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $1 - x y$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [- x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $y$ è $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (- x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Moltiplica.

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Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + 1 (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $x + y$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) x \cdot 1}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.12.1

Moltiplica $x + y$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + x \cdot (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 3.12.2

Moltiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}}$ per $\frac{1 - x y + x (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 - x y + x \cdot x + x y}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Combina i termini opposti in $1 - x y + x \cdot x + x y$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Somma $- x y$ e $x y$ .

$\frac{1 + x \cdot x + 0}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Somma $1 + x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{1 + x \cdot x}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.4.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1 + x^{2}}{(\frac{{(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} {(1 - x y)}^{2}}$

Passaggio 4.4.3

$\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}$ e ${(1 - x y)}^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Passaggio 4.4.4

Elimina il fattore comune di ${(1 - x y)}^{2}$ .

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Passaggio 4.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Passaggio 4.4.4.2

Dividi ${(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} + 1}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.6.1

Riscrivi ${(1 - x y)}^{2}$ come $(1 - x y) (1 - x y)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(1 - x y) (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Espandi $(1 - x y) (1 - x y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 (1 - x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.6.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.3.1.2

Moltiplica $- x y$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.6.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - (x \cdot x) y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.3.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.6.3.1.5.1

Sposta $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} (y \cdot y) \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.3.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y^{2} \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.3.1.6

Moltiplica $- x^{2} y^{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 4.6.3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + 1 x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.3.1.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.3.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4.6.4

Riscrivi ${(x + y)}^{2}$ come $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + (x + y) (x + y)}$

Passaggio 4.6.5

Espandi $(x + y) (x + y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x (x + y) + y (x + y)}$

Passaggio 4.6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y)}$

Passaggio 4.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y}$

Passaggio 4.6.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.6.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.6.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y}$

Passaggio 4.6.6.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2}}$

Passaggio 4.6.6.2

Somma $x y$ e $y x$ .

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Passaggio 4.6.6.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2}}$

Passaggio 4.6.6.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Passaggio 4.6.7

Somma $- 2 x y$ e $2 x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2} y^{2} + x^{2} + 0 + y^{2}}$

Passaggio 4.6.8

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}}$

Passaggio 4.6.9

Riscrivi $x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.6.9.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.6.9.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{x^{2} + 1}{(x^{2} y^{2} + x^{2}) + 1 + y^{2}}$

Passaggio 4.6.9.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)}$

Passaggio 4.6.9.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $y^{2} + 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.7

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 4.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} + 1}$