Calcolo Esempi

$y = \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 1 + \csc (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - \csc (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \csc (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $\csc (x)$ per $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.6

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1.1

Moltiplica $- \csc (x) \cot (x)$ per $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.1.3

Moltiplica $- \csc (x) \csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1.3.1

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.1.3.2

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.2

Combina i termini opposti in $- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.2.1

Somma $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ e $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + 0}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.2.2

Somma $- \csc (x) \cot (x)$ e $0$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$