Calcolo Esempi

$\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 x^{- \frac{3}{2}})$

Passaggio 1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

$6$ e $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Passaggio 2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.2.1

$\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ e $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot 6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2

Sposta $6$ alla sinistra di $\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{6 \cdot \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Passaggio 2.3

Poiché $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{6 \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}$ rispetto a $y$ è $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = 5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}}$ per $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}]$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 10 y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

Passaggio 4.3

Poiché $5 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

Passaggio 4.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$

Passaggio 4.5

Poiché $10$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $10 y^{3}$ rispetto a $y$ è $10 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (10 \frac{d}{d y} [y^{3}])$

Passaggio 4.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.6.1

$10$ e $\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{10 \cdot 6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $10$ per $6$ .

$\frac{60}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 4.6.3

Scomponi $5$ da $60$ .

$\frac{5 \cdot 12}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi $5$ da $(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (3 y^{2})$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

$3$ e $\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $3$ per $12$ .

$\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

Passaggio 7.3

$\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ e $y^{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2} x^{\frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.2.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{4 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.2.5.2

Somma $4$ e $3$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{7}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.3

Riordina i termini.

$\frac{36 y^{2}}{2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 8.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.4.1

Scomponi $x^{\frac{3}{2}}$ da $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}$ .

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Passaggio 8.4.1.1

Scomponi $x^{\frac{3}{2}}$ da $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 8.4.1.2

Scomponi $x^{\frac{3}{2}}$ da $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}}$

Passaggio 8.4.1.3

Scomponi $x^{\frac{3}{2}}$ da $x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{\frac{4}{2}})}$

Passaggio 8.4.2

Dividi $4$ per $2$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{2})}$