Calcolo Esempi

$\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}]$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{z - 1}$ come ${(z - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d z} [{(z - 1)}^{- 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ è $f' (g (z)) g' (z)$ dove $f (z) = z^{- 1}$ e $g (z) = z - 1$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $z - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $z - 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $z - 1$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $z$ è $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = - 1$ e $g (z) = \frac{1}{z}$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{z}$ come $z^{- 1}$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $z$ è $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Passaggio 3.6

Moltiplica $z^{- 2}$ per $1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\frac{1}{z}$ per $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + 0$

Passaggio 3.8

Somma $z^{- 2}$ e $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2}$

Passaggio 4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + z^{- 2}$

Passaggio 5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

Passaggio 6

Riordina i termini.

$\frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{{(z - 1)}^{2}}$