Calcolo Esempi

$f (z) = \frac{z^{2} + 1}{3 z}$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $\frac{z^{2} + 1}{3 z}$ rispetto a $z$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ è $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ dove $f (z) = z^{2} + 1$ e $g (z) = z$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $z^{2} + 1$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $1$ rispetto a $z$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + 0) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 3.4

Somma $2 z$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z^{1}) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{1 + 1} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \cdot 1}{z^{2}}$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$ .

$\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{3 z^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1 \cdot 1}{3 z^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $z^{2}$ da $2 z^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 1^{2}}{3 z^{2}}$

Passaggio 10.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = z$ e $b = 1$ .

$\frac{(z + 1) (z - 1)}{3 z^{2}}$