Calcolo Esempi

$\ln (\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ è $f' (g (z)) g' (z)$ dove $f (z) = \ln (z)$ e $g (z) = \frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$1 \frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ per $1$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Passaggio 4

Poiché $x^{40} y^{30}$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ rispetto a $z$ è $x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} (x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

$x^{40}$ e $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} (y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Passaggio 5.2

$y^{30}$ e $\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{y^{30} (x^{40} z^{20})}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $y^{30}$ .

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{30} x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $x^{40}$ .

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Passaggio 5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Passaggio 5.4.2

Dividi $z^{20}$ per $1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Passaggio 5.5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi $\frac{1}{z^{20}}$ come ${(z^{20})}^{- 1}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [{(z^{20})}^{- 1}]$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(z^{20})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{20 \cdot - 1}]$

Passaggio 5.5.2.2

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{- 20}]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = - 20$ .

$z^{20} (- 20 z^{- 21})$

Passaggio 7

Moltiplica $z^{20}$ per $z^{- 21}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $z^{- 21}$ .

$z^{- 21} z^{20} \cdot - 20$

Passaggio 7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$z^{- 21 + 20} \cdot - 20$

Passaggio 7.3

Somma $- 21$ e $20$ .

$z^{- 1} \cdot - 20$

Passaggio 8

Sposta $- 20$ alla sinistra di $z^{- 1}$ .

$- 20 \cdot z^{- 1}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{z}$

Passaggio 9.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 9.2.1

$- 20$ e $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 20}{z}$

Passaggio 9.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{20}{z}$