Calcolo Esempi

$\sqrt{\frac{z - 9}{z + 9}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{z - 9}{z + 9}}$ come ${(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d z} [{(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ è $f' (g (z)) g' (z)$ dove $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ e $g (z) = \frac{z - 9}{z + 9}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{z - 9}{z + 9}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{z - 9}{z + 9}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ è $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ dove $f (z) = z - 9$ e $g (z) = z + 9$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) \frac{d}{d z} [z - 9] - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Passaggio 9

Differenzia.

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Passaggio 9.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $z - 9$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 9]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 9]) - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) (1 + \frac{d}{d z} [- 9]) - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Passaggio 9.3

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $z$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) (1 + 0) - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Passaggio 9.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) \cdot 1 - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Passaggio 9.4.2

Moltiplica $z + 9$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Passaggio 9.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $z + 9$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [9]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [9])}{{(z + 9)}^{2}}$

Passaggio 9.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) (1 + \frac{d}{d z} [9])}{{(z + 9)}^{2}}$

Passaggio 9.7

Poiché $9$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $9$ rispetto a $z$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) (1 + 0)}{{(z + 9)}^{2}}$

Passaggio 9.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) \cdot 1}{{(z + 9)}^{2}}$

Passaggio 9.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9)}{{(z + 9)}^{2}}$

Passaggio 9.8.3

Moltiplica $\frac{z + 9 - (z - 9)}{{(z + 9)}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{z + 9 - (z - 9)}{{(z + 9)}^{2} \cdot 2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.8.4

Sposta $2$ alla sinistra di ${(z + 9)}^{2}$ .

$\frac{z + 9 - (z - 9)}{2 \cdot {(z + 9)}^{2}} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{z + 9 - (z - 9)}{2 {(z + 9)}^{2}} {(\frac{z + 9}{z - 9})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 10.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{z + 9}{z - 9}$ .

$\frac{z + 9 - (z - 9)}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{z + 9 - z - - 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 10.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$\frac{z + 9 - z + 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.2

Sottrai $z$ da $z$ .

$\frac{0 + 9 + 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.3

Somma $0$ e $9$ .

$\frac{9 + 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.4

Somma $9$ e $9$ .

$\frac{18}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.5

Elimina il fattore comune di $18$ e $2$ .

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Passaggio 10.4.5.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.4.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 {(z + 9)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 ({(z + 9)}^{2})} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{{(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.6

Moltiplica $\frac{9}{{(z + 9)}^{2}}$ per $\frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9 {(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z + 9)}^{2} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.7

Sposta ${(z + 9)}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{2} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}} {(z + 9)}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.8

Moltiplica ${(z + 9)}^{2}$ per ${(z + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.4.8.1

Sposta ${(z + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{- \frac{1}{2}} {(z + 9)}^{2} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.8.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{9}{{(z + 9)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.8.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.8.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.8.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9}{{(z + 9)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.8.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.4.8.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4.8.6.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{\frac{3}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$