Calcolo Esempi

$x z e^{y z}$

Passaggio 1

Poiché $x$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $x z e^{y z}$ rispetto a $z$ è $x \frac{d}{d z} [z e^{y z}]$ .

$x \frac{d}{d z} [z e^{y z}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = z$ e $g (z) = e^{y z}$ .

$x (z \frac{d}{d z} [e^{y z}] + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ è $f' (g (z)) g' (z)$ dove $f (z) = e^{z}$ e $g (z) = y z$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y z$ .

$x (z (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d z} [y z]) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (z (e^{u} \frac{d}{d z} [y z]) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y z$ .

$x (z (e^{y z} \frac{d}{d z} [y z]) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $y z$ rispetto a $z$ è $y \frac{d}{d z} [z]$ .

$x (z (e^{y z} (y \frac{d}{d z} [z])) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (z (e^{y z} (y \cdot 1)) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Passaggio 4.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x (z (e^{y z} y) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (z (e^{y z} y) + e^{y z} \cdot 1)$

Passaggio 4.5

Moltiplica $e^{y z}$ per $1$ .

$x (z (e^{y z} y) + e^{y z})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (z (e^{y z} y)) + x e^{y z}$

Passaggio 5.2

Riordina i termini.

$e^{y z} x y z + e^{y z} x$

Passaggio 5.3

Riordina i fattori in $e^{y z} x y z + e^{y z} x$ .

$x y z e^{y z} + x e^{y z}$