Calcolo Esempi

$y = 3 x^{5} - 2 x^{- 3} + \sqrt[4]{x^{7}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 2 x^{- 3} + \sqrt[4]{x^{7}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$15 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$15 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$ .

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x^{7}}$ come $x^{\frac{7}{4}}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{7}{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $4$ da $7$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.2

$6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$15 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$15 x^{4} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}} + \frac{6}{x^{4}}$

Passaggio 5.4

$\frac{7}{4}$ e $x^{\frac{3}{4}}$ .

$15 x^{4} + \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{6}{x^{4}}$