Calcolo Esempi

$y = 4 \arctan (3 x^{4})$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \arctan (3 x^{4})$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 3 x^{4}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$4 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{1 + {(3 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Scomponi $3$ da $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{1 + {(3 (x^{4}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Passaggio 3.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 (x^{4})$ .

$4 (\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Passaggio 3.2.1.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Passaggio 3.2.2

$\frac{1}{1 + 9 x^{8}}$ e $4$ .

$\frac{4}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4}{1 + 9 x^{8}} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.4.1

$3$ e $\frac{4}{1 + 9 x^{8}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{12}{1 + 9 x^{8}} (4 x^{3})$

Passaggio 3.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.6.1

$4$ e $\frac{12}{1 + 9 x^{8}}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{1 + 9 x^{8}} x^{3}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $4$ per $12$ .

$\frac{48}{1 + 9 x^{8}} x^{3}$

Passaggio 3.6.3

$\frac{48}{1 + 9 x^{8}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{48 x^{3}}{1 + 9 x^{8}}$

Passaggio 3.6.4

Riordina i termini.

$\frac{48 x^{3}}{9 x^{8} + 1}$