Calcolo Esempi

$y = 4 \ln (x^{2} e^{x})$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \ln (x^{2} e^{x})$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} e^{x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} e^{x}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} e^{x}$ .

$4 (\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Passaggio 3

$\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ e $4$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 7.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.2.1

$x^{2}$ e $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 7.2.2

$\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ e $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4 e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 7.2.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 7.2.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 7.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 7.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 7.2.5

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 7.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 7.2.5.2

Dividi $4$ per $1$ .

$4 + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 7.2.6

$e^{x}$ e $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ .

$4 + \frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

Passaggio 7.2.7

$2$ e $\frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ .

$4 + \frac{2 (e^{x} \cdot 4)}{x^{2} e^{x}} x$

Passaggio 7.2.8

Moltiplica $4$ per $2$ .

$4 + \frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

Passaggio 7.2.9

$\frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ e $x$ .

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Passaggio 7.2.10

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.10.1

Elimina il fattore comune.

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Passaggio 7.2.10.2

Riscrivi l'espressione.

$4 + \frac{8 x}{x^{2}}$

Passaggio 7.2.11

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 7.2.11.1

Scomponi $x$ da $8 x$ .

$4 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}}$

Passaggio 7.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.11.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

Passaggio 7.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

Passaggio 7.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 + \frac{8}{x}$

Passaggio 7.3

Riordina i termini.

$\frac{8}{x} + 4$