Calcolo Esempi

$y = 5 \cos (x) \sec (x^{2})$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \cos (x) \sec (x^{2})$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sec (x^{2})$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})] + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$5 (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sec (u)$ rispetto a $u$ è $\sec (u) \tan (u)$ .

$5 (\cos (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$5 (\cos (x) (\sec (x^{2}) \tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$10 \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) x - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$10 x \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 6.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.4.1

Riscrivi $\sec (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

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Passaggio 6.4.2.1

$10$ e $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$x \cos (x) \frac{10}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 6.4.2.2

$\frac{10}{\cos (x^{2})}$ e $x$ .

$\frac{10 x}{\cos (x^{2})} \cos (x) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 6.4.2.3

$\frac{10 x}{\cos (x^{2})}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 6.4.3

Riscrivi $\tan (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 6.4.4

Combina.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 6.4.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.4.5.1

Eleva $\cos (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 6.4.5.2

Eleva $\cos (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 6.4.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{{\cos (x^{2})}^{1 + 1}} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 6.4.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Passaggio 6.4.6

Riscrivi $\sec (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

Passaggio 6.4.7

$- 5$ e $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} + \frac{- 5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

Passaggio 6.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

Passaggio 6.4.9

$\sin (x)$ e $\frac{5}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{\sin (x) \cdot 5}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 6.4.10

Sposta $5$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 6.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.5.1

Scomponi $\cos (x^{2})$ da $\cos^{2} (x^{2})$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 6.5.2

Frazioni separate.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 6.5.3

Riscrivi $\frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})}$ come un prodotto.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 6.5.4

Scrivi $\cos (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 6.5.5

Semplifica.

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Passaggio 6.5.5.1

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 6.5.5.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ a $\sec (x^{2})$ .

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 6.5.6

Frazioni separate.

$\frac{10 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 6.5.7

Converti da $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ a $\tan (x^{2})$ .

$\frac{10 x}{1} \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 6.5.8

Dividi $10 x$ per $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 6.5.9

Frazioni separate.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})})$

Passaggio 6.5.10

Riscrivi $\frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})}$ come un prodotto.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Passaggio 6.5.11

Scrivi $\sin (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Passaggio 6.5.12

Semplifica.

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Passaggio 6.5.12.1

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Passaggio 6.5.12.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ a $\sec (x^{2})$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \sec (x^{2})))$

Passaggio 6.5.13

Dividi $5$ per $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (5 (\sin (x) \sec (x^{2})))$

Passaggio 6.5.14

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - 5 \sin (x) \sec (x^{2})$