Calcolo Esempi

$y = 2 x \sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$ come ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 2 x + 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 2 x + 2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 + 0) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 17

Moltiplica ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2)) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 18.2.1

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.3

Riordina i termini.

$(2 x - 2) \frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 18.4.1

Moltiplica $2 x - 2$ per $\frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 x - 2) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.4.2

Scomponi $2$ da $2 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{(2 (x) - 2) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.4.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.4.2.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.5

Per scrivere $2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (x - 1) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 (x - 1) x + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 18.7.1

Scomponi $2$ da $2 (x - 1) x + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 18.7.1.1

Scomponi $2$ da $2 (x - 1) x$ .

$\frac{2 ((x - 1) x) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7.1.2

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ((x - 1) x) + 2 ({(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7.1.3

Scomponi $2$ da $2 ((x - 1) x) + 2 ({(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 ((x - 1) x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x - 1 x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7.5

Moltiplica ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 18.7.5.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7.5.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{2}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7.5.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{1})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7.6

Semplifica ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{1}$ .

$\frac{2 (x^{2} - x + x^{2} - 2 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7.7

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 2 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7.8

Sottrai $2 x$ da $- x$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 3 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$