Calcolo Esempi

$y = 2 x (\sqrt{x} - x^{2} + 3 x - 5)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)]$

Passaggio 1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5] + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 16

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3$ e $0$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 17

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \cdot 1)$

Passaggio 18

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5$ per $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3) + x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)$

Passaggio 19

Semplifica.

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Passaggio 19.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x (- 2 x) + x \cdot 3 + x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)$

Passaggio 19.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 19.3.1

$x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.3

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 19.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 19.3.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.3.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.4

$2$ e $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.6

Dividi $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 (x^{1} x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x^{1 + 1}) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.10

Somma $1$ e $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.11

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2} + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.12

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2} + 2 (3 \cdot x) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.13

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2} + 6 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.14

Somma $x^{\frac{1}{2}}$ e $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.15

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 4 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.16

Sottrai $2 x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.17

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- 6 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 6 x + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.18

Somma $6 x$ e $6 x$ .

$- 6 x^{2} + 12 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5$

Passaggio 19.3.19

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$- 6 x^{2} + 12 x + 3 x^{\frac{1}{2}} - 10$