Calcolo Esempi

$y = 2 \sin (\frac{x}{2}) + 8 \cos (\frac{x}{2})$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin (\frac{x}{2}) + 8 \cos (\frac{x}{2})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (\frac{x}{2})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2.6

$\cos (\frac{x}{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2.7

$2$ e $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2.8.2

Dividi $\cos (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \cos (\frac{x}{2})$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{2})$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{2}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2})$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\cos (\frac{x}{2}) - 8 \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$

Passaggio 3.8

$- 8$ e $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{- 8 \sin (\frac{x}{2})}{2}$

Passaggio 3.9

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

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Passaggio 3.9.1

Scomponi $2$ da $- 8 \sin (\frac{x}{2})$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2}$

Passaggio 3.9.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)}$

Passaggio 3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{- 4 \sin (\frac{x}{2})}{1}$

Passaggio 3.9.2.4

Dividi $- 4 \sin (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) - 4 \sin (\frac{x}{2})$