Calcolo Esempi

$y = 3 x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 4 x^{4} - 5 x^{3}$ .

$3 (x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} - 5 x^{3}] + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{4} - 5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$3 (x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{4}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 (x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (x^{3} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$3 (x^{3} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 5 (3 x^{2})) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.7

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 15 x^{2}) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 15 x^{2}) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) (3 x^{2}))$

Passaggio 3.9

Sposta $3$ alla sinistra di $4 x^{4} - 5 x^{3}$ .

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 15 x^{2}) + 3 \cdot (4 x^{4} - 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x^{3} (16 x^{3}) + x^{3} (- 15 x^{2}) + 3 (4 x^{4} - 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x^{3} (16 x^{3}) + x^{3} (- 15 x^{2}) + (3 (4 x^{4}) + 3 (- 5 x^{3})) x^{2})$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x^{3} (16 x^{3}) + x^{3} (- 15 x^{2}) + 3 (4 x^{4}) x^{2} + 3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x^{3} (16 x^{3})) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$3 (x^{3} x^{3} \cdot 16) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (x^{3 + 3} \cdot 16) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.1.3

Somma $3$ e $3$ .

$3 (x^{6} \cdot 16) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.2

Sposta $16$ alla sinistra di $x^{6}$ .

$3 (16 \cdot x^{6}) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $16$ per $3$ .

$48 x^{6} + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$48 x^{6} + 3 (x^{2} x^{3} \cdot - 15) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$48 x^{6} + 3 (x^{2 + 3} \cdot - 15) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.4.3

Somma $2$ e $3$ .

$48 x^{6} + 3 (x^{5} \cdot - 15) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.5

Sposta $- 15$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$48 x^{6} + 3 (- 15 \cdot x^{5}) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.6

Moltiplica $- 15$ per $3$ .

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.7

Moltiplica $4$ per $3$ .

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (12 x^{4} x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.8

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.8.1

Sposta $x^{2}$ .

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (12 (x^{2} x^{4})) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.8.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (12 x^{2 + 4}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.8.3

Somma $2$ e $4$ .

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (12 x^{6}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.9

Moltiplica $12$ per $3$ .

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Passaggio 4.5.10

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (- 15 x^{3} x^{2})$

Passaggio 4.5.11

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.11.1

Sposta $x^{2}$ .

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (- 15 (x^{2} x^{3}))$

Passaggio 4.5.11.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (- 15 x^{2 + 3})$

Passaggio 4.5.11.3

Somma $2$ e $3$ .

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (- 15 x^{5})$

Passaggio 4.5.12

Moltiplica $- 15$ per $3$ .

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} - 45 x^{5}$

Passaggio 4.5.13

Somma $48 x^{6}$ e $36 x^{6}$ .

$84 x^{6} - 45 x^{5} - 45 x^{5}$

Passaggio 4.5.14

Sottrai $45 x^{5}$ da $- 45 x^{5}$ .

$84 x^{6} - 90 x^{5}$