Calcolo Esempi

$y = 3 e^{2 x} \arcsin (x)$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{2 x} \arcsin (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x} \arcsin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{2 x} \arcsin (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = \arcsin (x)$ .

$3 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Passaggio 3

La derivata di $\arcsin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 (e^{2 x} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Passaggio 4

$e^{2 x}$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Passaggio 6.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} \cdot 2))$

Passaggio 6.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (2 \cdot e^{2 x}))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 3 (\arcsin (x) (2 e^{2 x}))$

Passaggio 7.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.2.1

$3$ e $\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 3 (\arcsin (x) (2 e^{2 x}))$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 6 \arcsin (x) e^{2 x}$

Passaggio 7.3

Riordina i termini.

$6 e^{2 x} \arcsin (x) + \frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$