Calcolo Esempi

$y = 3 (\cos (x) + \sin (x)) \cdot (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))]$ .

$3 \frac{d}{d x} [(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x) + \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x) - \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)] + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Passaggio 3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Passaggio 4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Passaggio 6

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Passaggio 8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Passaggio 9

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x)))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x))) + 3 ((\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x)))$

Passaggio 10.2

Rimuovi le parentesi.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x))$

Passaggio 10.3

Riordina i termini.

$3 (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(3 (- \sin (x)) + 3 (- \cos (x))) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$(- 3 \sin (x) + 3 (- \cos (x))) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$(- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.4

Espandi $(- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 \sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - 3 \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.5.1.1

Moltiplica $- 3 \sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.5.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.5.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.5.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.5.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.5.1.2

Moltiplica $- 3 \cos (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.5.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.5.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.5.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 {\cos (x)}^{1 + 1} - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.5.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.5.2

Riordina i fattori di $- 3 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.5.3

Sottrai $3 \cos (x) \sin (x)$ da $- 3 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.6

Scomponi $- 3$ da $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x)) - 3 \cos^{2} (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.7

Scomponi $- 3$ da $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x)) - 3 (\cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.8

Scomponi $- 3$ da $- 3 (\sin^{2} (x)) - 3 (\cos^{2} (x))$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.9

Applica l'identità pitagorica.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cdot 1 + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.10

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.11

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + (3 (- \sin (x)) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.12

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + (- 3 \sin (x) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.13

Espandi $(- 3 \sin (x) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 3 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- \sin (x)) + 3 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 10.4.13.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.4.14

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.14.1.1

Moltiplica $- 3 \sin (x) (- \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.14.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.4.14.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.4.14.1.1.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.4.14.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 {\sin (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.4.14.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.4.14.1.2

Moltiplica $3 \cos (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.14.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.4.14.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.4.14.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.4.14.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 10.4.14.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 10.4.14.2

Riordina i fattori di $- 3 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 10.4.14.3

Sottrai $3 \cos (x) \sin (x)$ da $- 3 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Passaggio 10.4.15

Scomponi $3$ da $3 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

Passaggio 10.4.16

Scomponi $3$ da $3 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos^{2} (x))$

Passaggio 10.4.17

Scomponi $3$ da $3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos^{2} (x))$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Passaggio 10.4.18

Applica l'identità pitagorica.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 1$

Passaggio 10.4.19

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3$

Passaggio 10.5

Combina i termini opposti in $- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Somma $- 3$ e $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x) + 0$

Passaggio 10.5.2

Somma $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x)$ e $0$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 10.6

Sottrai $6 \cos (x) \sin (x)$ da $- 6 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x)$