Calcolo Esempi

$y = 1 - \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Passaggio 1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 - (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Somma $0$ e $2 \sin (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$- 4 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (2 x)$