Calcolo Esempi

$y = 2 e^{\sqrt{5 x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 x}$ come ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{{(5 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2.2

Applica la regola del prodotto a $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $5^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 10

$5^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 2 e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

Sposta $2$ alla sinistra di $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} e^{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$