Calcolo Esempi

$y = 2 x^{2} e^{- x}$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2} e^{- x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$2 (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$2 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$2 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x^{2} (- e^{- x})) + 2 (e^{- x} (2 x))$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x})) + 2 (e^{- x} (2 x))$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 2 x^{2} e^{- x} + 4 e^{- x} x$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$- 2 e^{- x} x^{2} + 4 e^{- x} x$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x} x^{2} + 4 e^{- x} x$ .

$- 2 x^{2} e^{- x} + 4 x e^{- x}$