Calcolo Esempi

$y = \arccos (\frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arccos (x)$ e $g (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arccos (u)$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}])$

Passaggio 2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $1 + x^{2}$ per $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 8

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 9

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ per $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ .

$- \frac{(1 - x^{2}) \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

Passaggio 11

Sposta $2$ alla sinistra di $1 - x^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{{(2 x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.2

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{2 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.6.1

Scomponi $2$ da $2 - 2 x^{2}$ .

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Passaggio 12.6.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (1) - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.6.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$- \frac{2 (1) + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.6.1.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- x^{2})$ .

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.6.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{2 (1^{2} - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.6.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 12.7.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.3

Riscrivi $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 12.7.3.1

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - {(2 x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1 + x^{2}$ e $b = 2 x$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 2 x) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.3.3

Semplifica.

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Passaggio 12.7.3.3.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 12.7.3.3.1.1

Rimetti in ordine i termini.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.3.3.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1^{2} + 2 x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.3.3.1.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Passaggio 12.7.3.3.1.4

Riscrivi il polinomio.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.3.3.1.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 1$ e $b = x$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.3.3.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 12.7.3.3.2.1

Rimetti in ordine i termini.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1 - 1 \cdot 2 x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.3.3.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1^{2} - 1 \cdot 2 x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.3.3.2.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$1 \cdot 2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Passaggio 12.7.3.3.2.4

Riscrivi il polinomio.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.3.3.2.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = 1$ e $b = x$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.4

Riscrivi ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ come ${((1 + x) (1 - x))}^{2}$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 12.7.5

Riscrivi $\frac{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ come ${(\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}})}^{2}$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

Passaggio 12.7.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}}$

Passaggio 12.8

${(1 + x^{2})}^{2}$ e $\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}{1 + x^{2}}}$

Passaggio 12.9

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 12.9.1

Riduci l'espressione $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 12.9.1.1

Scomponi $1 + x^{2}$ da ${(1 + x^{2})}^{2} (1 + x) (1 - x)$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{1 + x^{2}}}$

Passaggio 12.9.1.2

Moltiplica per $1$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

Passaggio 12.9.1.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

Passaggio 12.9.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)}{1}}$

Passaggio 12.9.2

Dividi $((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)$ per $1$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)}$

Passaggio 12.10

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

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Passaggio 12.10.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 12.10.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 - x)}$

Passaggio 12.11

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

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Passaggio 12.11.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 - x)}$

Passaggio 12.11.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{1 + x^{2}}$