Calcolo Esempi

$y = \cos (\frac{x - 1}{x + 1})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x + 1$ .

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8.3

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ e $\sin (\frac{x - 1}{x + 1})$ .

$- \frac{(x + 1 - (x - 1)) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{(x + 1 - x - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Combina i termini opposti in $x + 1 - x - - 1$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$- \frac{(0 + 1 - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $0$ e $1$ .

$- \frac{(1 - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{(1 + 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2 \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$