Calcolo Esempi

$y = - 6 x {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(3 x - 1)}^{2}$ come $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x ((3 x - 1) (3 x - 1))]$

Passaggio 2

Espandi $(3 x - 1) (3 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1))]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1))]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1)]$

Passaggio 3.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$

Passaggio 4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x (9 x^{2} - 6 x + 1)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1$ .

$- 6 (x \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 6 x + 1] + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} - 6 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 6 (x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 (x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 6 (x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$- 6 (x (18 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.5

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 (x (18 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 (x (18 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.7

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 6 (x (18 x - 6 + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 (x (18 x - 6 + 0) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.9

Somma $18 x - 6$ e $0$ .

$- 6 (x (18 x - 6) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 (x (18 x - 6) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \cdot 1)$

Passaggio 6.11

Moltiplica $9 x^{2} - 6 x + 1$ per $1$ .

$- 6 (x (18 x - 6) + 9 x^{2} - 6 x + 1)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 (x (18 x) + x \cdot - 6 + 9 x^{2} - 6 x + 1)$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 (x (18 x)) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Passaggio 7.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 6 (18 (x^{1} x)) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Passaggio 7.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 6 (18 (x^{1} x^{1})) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Passaggio 7.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 6 (18 x^{1 + 1}) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Passaggio 7.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$- 6 (18 x^{2}) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Passaggio 7.3.5

Moltiplica $18$ per $- 6$ .

$- 108 x^{2} - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Passaggio 7.3.6

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x$ .

$- 108 x^{2} - 6 (- 6 \cdot x) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$- 108 x^{2} + 36 x - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Passaggio 7.3.8

Moltiplica $9$ per $- 6$ .

$- 108 x^{2} + 36 x - 54 x^{2} - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Passaggio 7.3.9

Sottrai $54 x^{2}$ da $- 108 x^{2}$ .

$- 162 x^{2} + 36 x - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Passaggio 7.3.10

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$- 162 x^{2} + 36 x + 36 x - 6 \cdot 1$

Passaggio 7.3.11

Somma $36 x$ e $36 x$ .

$- 162 x^{2} + 72 x - 6 \cdot 1$

Passaggio 7.3.12

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 162 x^{2} + 72 x - 6$