Calcolo Esempi

$y = 6 x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 4 x^{5} - 7 x^{2}$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x^{2}] + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{5} - 7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{5}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 (x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$6 (x^{2} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $5$ per $4$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 7 (2 x)) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) (2 x))$

Passaggio 3.9

Sposta $2$ alla sinistra di $4 x^{5} - 7 x^{2}$ .

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + 2 \cdot (4 x^{5} - 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + 2 (4 x^{5} - 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + (2 (4 x^{5}) + 2 (- 7 x^{2})) x)$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + 2 (4 x^{5}) x + 2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{2} (20 x^{4})) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.1.1

Sposta $x^{4}$ .

$6 (x^{4} x^{2} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 (x^{4 + 2} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.1.3

Somma $4$ e $2$ .

$6 (x^{6} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.2

Sposta $20$ alla sinistra di $x^{6}$ .

$6 (20 \cdot x^{6}) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $20$ per $6$ .

$120 x^{6} + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.4.1

Sposta $x$ .

$120 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 4.5.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$120 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$120 x^{6} + 6 (x^{1 + 2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$120 x^{6} + 6 (x^{3} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.5

Sposta $- 14$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$120 x^{6} + 6 (- 14 \cdot x^{3}) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.6

Moltiplica $- 14$ per $6$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.7

Moltiplica $4$ per $2$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{5} x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 (x^{1} x^{5})) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{1 + 5}) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.10

Somma $1$ e $5$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{6}) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.11

Moltiplica $8$ per $6$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

Passaggio 4.5.12

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{2} x)$

Passaggio 4.5.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 (x^{1} x^{2}))$

Passaggio 4.5.14

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{1 + 2})$

Passaggio 4.5.15

Somma $1$ e $2$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{3})$

Passaggio 4.5.16

Moltiplica $- 14$ per $6$ .

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} - 84 x^{3}$

Passaggio 4.5.17

Somma $120 x^{6}$ e $48 x^{6}$ .

$168 x^{6} - 84 x^{3} - 84 x^{3}$

Passaggio 4.5.18

Sottrai $84 x^{3}$ da $- 84 x^{3}$ .

$168 x^{6} - 168 x^{3}$