Calcolo Esempi

$y = \sec (x) (x - \tan (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = x - \tan (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [x - \tan (x)] + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\sec (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec (x) (1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \tan (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\sec (x) (1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 4

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x \sec (x) - \tan (x) \sec (x)) \tan (x)$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $\sec (x)$ per $1$ .

$\sec (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5.4.2

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 2} + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5.4.4

Somma $1$ e $2$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5.4.5

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)$

Passaggio 5.4.6

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)$

Passaggio 5.4.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Passaggio 5.4.8

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5

Riordina i termini.

$x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Passaggio 5.6

Scomponi $\sec (x)$ da $x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $\sec (x)$ da $x \sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Passaggio 5.6.2

Scomponi $\sec (x)$ da $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Passaggio 5.6.3

Moltiplica per $1$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 - \sec^{3} (x)$

Passaggio 5.6.4

Scomponi $\sec (x)$ da $- \sec^{3} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Passaggio 5.6.5

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Passaggio 5.6.6

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Passaggio 5.6.7

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1 - \sec^{2} (x))$

Passaggio 5.7

Riordina $1$ e $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1)$

Passaggio 5.8

Scomponi $- 1$ da $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1)$

Passaggio 5.9

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 5.10

Scomponi $- 1$ da $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1))$

Passaggio 5.11

Applica l'identità pitagorica.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Passaggio 5.12

Sottrai $\tan^{2} (x)$ da $- \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - 2 \tan^{2} (x))$

Passaggio 5.13

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- 2 \tan^{2} (x))$

Passaggio 5.14

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$

Passaggio 5.15

Riordina i fattori in $\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$x \sec (x) \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$