Calcolo Esempi

$y = \sec (2 x) \tan^{2} (2 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec (2 x)$ e $g (x) = \tan^{2} (2 x)$ .

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (2 x)$ .

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\sec (2 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (2 x)$ .

$\sec (2 x) (2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x)$ .

$2 \cdot \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 4.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 5

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {\sec (2 x)}^{2 + 1} \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

Somma $2$ e $1$ .

$2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 7.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 7.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1 + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 7.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $2 x$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 8.2

La derivata di $\sec (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 9

Moltiplica $\tan^{2} (2 x)$ per $\tan (2 x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.1

Sposta $\tan (2 x)$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 9.2

Moltiplica $\tan (2 x)$ per $\tan^{2} (2 x)$ .

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Passaggio 9.2.1

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 9.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 2} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 9.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2$

Passaggio 12.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$ .

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$