Calcolo Esempi

$y = \ln (\csc (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\csc (x)} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 2

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 5

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riordina i fattori di $\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x)$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x)$

Passaggio 6.3

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Passaggio 6.4.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x)$

Passaggio 6.4.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x)$

Passaggio 6.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x)$

Passaggio 6.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 6.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ nel numeratore.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Passaggio 6.5.2

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Passaggio 6.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Passaggio 6.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 6.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 6.7

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$- \cot (x)$