Calcolo Esempi

$y = \ln (\cos (e^{x}))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (e^{x})$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (e^{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (e^{x})$ .

$\frac{1}{\cos (e^{x})} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Passaggio 2

Converti da $\frac{1}{\cos (e^{x})}$ a $\sec (e^{x})$ .

$\sec (e^{x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $e^{x}$ .

$\sec (e^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{x}$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori di $\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$ .

$- e^{x} \sec (e^{x}) \sin (e^{x})$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\sec (e^{x})$ in termini di seno e coseno.

$- e^{x} \frac{1}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

Passaggio 5.3

$\frac{1}{\cos (e^{x})}$ e $e^{x}$ .

$- \frac{e^{x}}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

Passaggio 5.4

$\sin (e^{x})$ e $\frac{e^{x}}{\cos (e^{x})}$ .

$- \frac{\sin (e^{x}) e^{x}}{\cos (e^{x})}$

Passaggio 5.5

Frazioni separate.

$- (\frac{e^{x}}{1} \cdot \frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})})$

Passaggio 5.6

Converti da $\frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})}$ a $\tan (e^{x})$ .

$- (\frac{e^{x}}{1} \tan (e^{x}))$

Passaggio 5.7

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$- e^{x} \tan (e^{x})$