Calcolo Esempi

$y = \ln (- 42 x^{2} + 11 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = - 42 x^{2} + 11 x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 42 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 42 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 42 x^{2} + 11 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (\frac{d}{d x} [- 42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Passaggio 2.2

Poiché $- 42$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 42 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [11 x])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $- 42$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + \frac{d}{d x} [11 x])$

Passaggio 2.5

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11 x$ rispetto a $x$ è $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11 \cdot 1)$

Passaggio 2.7

Moltiplica $11$ per $1$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11)$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x}$

Passaggio 3.2

Scomponi $x$ da $- 42 x^{2} + 11 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $x$ da $- 42 x^{2}$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x) + 11 x}$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x$ da $11 x$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x) + x \cdot 11}$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $x$ da $x (- 42 x) + x \cdot 11$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x + 11)}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 84 x + 11$ per $\frac{1}{x (- 42 x + 11)}$ .

$\frac{- 84 x + 11}{x (- 42 x + 11)}$

Passaggio 3.4

Scomponi $- 1$ da $- 84 x$ .

$\frac{- (84 x) + 11}{x (- 42 x + 11)}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $11$ come $- 1 (- 11)$ .

$\frac{- (84 x) - 1 (- 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Passaggio 3.6

Scomponi $- 1$ da $- (84 x) - 1 (- 11)$ .

$\frac{- (84 x - 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Passaggio 3.7

Riscrivi $- (84 x - 11)$ come $- 1 (84 x - 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- 42 x$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x) + 11)}$

Passaggio 3.9

Riscrivi $11$ come $- 1 (- 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x) - 1 (- 11))}$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $- (42 x) - 1 (- 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x - 11))}$

Passaggio 3.11

Riscrivi $- (42 x - 11)$ come $- 1 (42 x - 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 1 (42 x - 11))}$

Passaggio 3.12

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 1 (42 x - 11))}$

Passaggio 3.13

Riscrivi l'espressione.

$\frac{84 x - 11}{x (42 x - 11)}$