Calcolo Esempi

$y = \ln (e^{7 x} + 4)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{7 x} + 4$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{7 x} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{7 x} + 4]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{7 x} + 4]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{7 x} + 4$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} \frac{d}{d x} [e^{7 x} + 4]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{7 x} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $7 x$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $7 x$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (e^{7 x} (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (e^{7 x} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.3.2

Sposta $7$ alla sinistra di $e^{7 x}$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (7 \cdot e^{7 x} + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (7 e^{7 x} + 0)$

Passaggio 4.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.5.1

Somma $7 e^{7 x}$ e $0$ .

$\frac{1}{e^{7 x} + 4} (7 e^{7 x})$

Passaggio 4.5.2

$7$ e $\frac{1}{e^{7 x} + 4}$ .

$\frac{7}{e^{7 x} + 4} e^{7 x}$

Passaggio 4.5.3

$\frac{7}{e^{7 x} + 4}$ e $e^{7 x}$ .

$\frac{7 e^{7 x}}{e^{7 x} + 4}$