Calcolo Esempi

y = ln (\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}})

$y = \ln (\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = \ln (x)$ e

$g (x) = \frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di

$\ln (u)$ rispetto a

$u$ è

$\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ .

$\frac{1}{\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per

$\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ .

$1 \frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Passaggio 3

Moltiplica

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}}$ per

$1$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove

$f (x) = 5 + e^{x}$ e

$g (x) = 5 - e^{x}$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}] - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$5 + e^{x}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Poiché

$5$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$5$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Somma

$0$ e

$\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è

$a^{x} \ln (a)$ dove

$a$ =

$e$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$5 - e^{x}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.2

Poiché

$5$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$5$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.3

Somma

$0$ e

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- e^{x}$ rispetto a

$x$ è

$- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.5

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + 1 (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica

$5 + e^{x}$ per

$1$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è

$a^{x} \ln (a)$ dove

$a$ =

$e$ .

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 9

Moltiplica

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}}$ per

$\frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{{(5 - e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 + e^{x}) {(5 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 10

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.1

Scomponi

$5 - e^{x}$ da

$(5 + e^{x}) {(5 - e^{x})}^{2}$ .

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 - e^{x}) ((5 + e^{x}) (5 - e^{x}))}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 - e^{x}) ((5 + e^{x}) (5 - e^{x}))}$

Passaggio 10.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 e^{x} - e^{x} e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 e^{x} - e^{x} e^{x} + 5 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Passaggio 11.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.3.1

Combina i termini opposti in

$5 e^{x} - e^{x} e^{x} + 5 e^{x} + e^{x} e^{x}$ .

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Passaggio 11.3.1.1

Somma

$- e^{x} e^{x}$ e

$e^{x} e^{x}$ .

$\frac{5 e^{x} + 5 e^{x} + 0}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Passaggio 11.3.1.2

Somma

$5 e^{x} + 5 e^{x}$ e

$0$ .

$\frac{5 e^{x} + 5 e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

Passaggio 11.3.2

Somma

$5 e^{x}$ e

$5 e^{x}$ .

$\frac{10 e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$