Calcolo Esempi

$y = \frac{- 8 e^{6 x}}{7 x - 2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8 e^{6 x}}{7 x - 2}]$

Passaggio 1.2

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8 e^{6 x}}{7 x - 2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{7 x - 2}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{7 x - 2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{6 x}$ e $g (x) = 7 x - 2$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{6 x} (6 \cdot 1) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{6 x} \cdot 6 - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta $6$ alla sinistra di $(7 x - 2) e^{6 x}$ .

$- 8 \frac{6 \cdot ((7 x - 2) e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $7$ per $1$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 + 0)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.9.1

Somma $7$ e $0$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} \cdot 7}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.9.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.9.3

$- 8$ e $\frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 8 (6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.9.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 (6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8 ((6 (7 x) + 6 \cdot - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8 (6 (7 x) e^{6 x} + 6 \cdot - 2 e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8 (6 (7 x) e^{6 x}) + 8 (6 \cdot - 2 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.1.1

Moltiplica $7$ per $6$ .

$- \frac{8 (42 x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot - 2 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2

Moltiplica $42$ per $8$ .

$- \frac{336 (x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot - 2 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} + 8 (- 12 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.4

Moltiplica $- 12$ per $8$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} - 96 e^{6 x} + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.5

Moltiplica $- 7$ per $8$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} - 96 e^{6 x} - 56 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Sottrai $56 e^{6 x}$ da $- 96 e^{6 x}$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} - 152 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Scomponi $8 e^{6 x}$ da $336 x e^{6 x} - 152 e^{6 x}$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $8 e^{6 x}$ da $336 x e^{6 x}$ .

$- \frac{8 e^{6 x} (42 x) - 152 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $8 e^{6 x}$ da $- 152 e^{6 x}$ .

$- \frac{8 e^{6 x} (42 x) + 8 e^{6 x} (- 19)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $8 e^{6 x}$ da $8 e^{6 x} (42 x) + 8 e^{6 x} (- 19)$ .

$- \frac{8 e^{6 x} (42 x - 19)}{{(7 x - 2)}^{2}}$