Calcolo Esempi

$y = e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Passaggio 2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 e^{x + 1}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

$2 e^{2 x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (1 + 0))$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $0$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} \cdot 1)$

Passaggio 3.7

Moltiplica $e^{x + 1}$ per $1$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$