Calcolo Esempi

$y = arccsc (x^{4} + 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = arccsc (x)$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Passaggio 1.2

La derivata di $arccsc (u)$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 1$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3} + 0)$

Passaggio 2.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.4.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3})$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} x^{3}$

Passaggio 2.4.3

$- 4$ e $\frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 4}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} x^{3}$

Passaggio 2.4.4

$\frac{- 4}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$

Passaggio 2.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1^{2}}}$

Passaggio 3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{4} + 1$ e $b = 1$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 1 + 1) (x^{4} + 1 - 1)}}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica.

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Passaggio 3.1.3.1

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) (x^{4} + 1 - 1)}}$

Passaggio 3.1.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) (x^{4} + 0)}}$

Passaggio 3.1.3.3

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) x^{4}}}$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi $(x^{4} + 2) x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2} ({(x^{2})}^{2} + 2)$ .

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Passaggio 3.1.4.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) {(x^{2})}^{2}}}$

Passaggio 3.1.4.2

Riordina $x^{4} + 2$ e ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{2})}^{2} (x^{4} + 2)}}$

Passaggio 3.1.4.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{2})}^{2} ({(x^{2})}^{2} + 2)}}$

Passaggio 3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{{(x^{2})}^{2} + 2})}$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{x^{2 \cdot 2} + 2})}$

Passaggio 3.1.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{x^{4} + 2})}$

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} (4 x)}{(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}$ .

$- \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} ((x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2})}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} ((x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2})}$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$ per $\frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}}$ .

$- (\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}})$

Passaggio 3.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$ per $\frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

Passaggio 3.4.2

Sposta $\sqrt{x^{4} + 2}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) (\sqrt{x^{4} + 2} \sqrt{x^{4} + 2})}$

Passaggio 3.4.3

Eleva $\sqrt{x^{4} + 2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) ({\sqrt{x^{4} + 2}}^{1} \sqrt{x^{4} + 2})}$

Passaggio 3.4.4

Eleva $\sqrt{x^{4} + 2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) ({\sqrt{x^{4} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{4} + 2}}^{1})}$

Passaggio 3.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {\sqrt{x^{4} + 2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {\sqrt{x^{4} + 2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.7

Riscrivi ${\sqrt{x^{4} + 2}}^{2}$ come $x^{4} + 2$ .

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Passaggio 3.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{4} + 2}$ come ${(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {({(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{1}}$

Passaggio 3.4.7.5

Semplifica.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 2)}$