Calcolo Esempi

$y = \frac{9 x^{2} + 2}{x^{2} + 7}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 9 x^{2} + 2$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 2] - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (18 x + \frac{d}{d x} [2]) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $18 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (18 x) - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $18$ alla sinistra di $x^{2} + 7$ .

$\frac{18 \cdot (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - (9 x^{2} + 2) (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{18 (x^{2} + 7) x - 2 (9 x^{2} + 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(18 x^{2} + 18 \cdot 7) x - 2 (9 x^{2} + 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2} + 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 7 x + (- 2 (9 x^{2}) - 2 \cdot 2) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{18 (x \cdot x^{2}) + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{2}) + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{18 x^{1 + 2} + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 18 \cdot 7 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $18$ per $7$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.5.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 2 (9 x^{3}) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $9$ per $- 2$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 18 x^{3} - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 126 x - 18 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Combina i termini opposti in $18 x^{3} + 126 x - 18 x^{3} - 4 x$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $18 x^{3}$ da $18 x^{3}$ .

$\frac{126 x + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $126 x$ e $0$ .

$\frac{126 x - 4 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Sottrai $4 x$ da $126 x$ .

$\frac{122 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$