Calcolo Esempi

$y = \frac{9 \ln (x + 7)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9 \ln (x + 7)}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 7)}{x^{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 7)}{x^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x + 7)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$9 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 7)] - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 7)] - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$9 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 7)] - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 7$ .

$9 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 7]) - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$9 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 7]) - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 7$ .

$9 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 7} \frac{d}{d x} [x + 7]) - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{x + 7}$ e $x^{2}$ .

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} \frac{d}{d x} [x + 7] - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} (1 + \frac{d}{d x} [7]) - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} (1 + 0) - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} \cdot 1 - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\frac{x^{2}}{x + 7}$ per $1$ .

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{\frac{x^{2}}{x + 7} - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ per $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$9 (\frac{x + 7}{x + 7} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Combina.

$9 \frac{(x + 7) (\frac{x^{2}}{x + 7} - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 7) x^{4}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 \frac{(x + 7) \frac{x^{2}}{x + 7} + (x + 7) (- \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 7) x^{4}}$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $x + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{(x + 7) \frac{x^{2}}{x + 7} + (x + 7) (- \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 7) x^{4}}$

Passaggio 7.3.2

Riscrivi l'espressione.

$9 \frac{x^{2} + (x + 7) (- \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 7) x^{4}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 \frac{x^{2} + (x + 7) (- \ln (x + 7) (2 x))}{(x + 7) x^{4}}$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$9 \frac{x^{2} + (x + 7) (- 2 \ln (x + 7) x)}{(x + 7) x^{4}}$

Passaggio 9.2

$9$ e $\frac{x^{2} + (x + 7) (- 2 \ln (x + 7) x)}{(x + 7) x^{4}}$ .

$\frac{9 (x^{2} + (x + 7) (- 2 \ln (x + 7) x))}{(x + 7) x^{4}}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 x^{2} + 9 ((x + 7) (- 2 \ln (x + 7) x))}{(x + 7) x^{4}}$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 x^{2} + 9 ((x + 7) (- 2 \ln (x + 7) x))}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.1

Semplifica $- 2 \ln (x + 7)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{9 x^{2} + 9 ((x + 7) (- \ln ({(x + 7)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 x^{2} + 9 (x (- \ln ({(x + 7)}^{2}) x) + 7 (- \ln ({(x + 7)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x (\ln ({(x + 7)}^{2}) x) + 7 (- \ln ({(x + 7)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.4

Moltiplica $7 (- \ln ({(x + 7)}^{2}) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x (\ln ({(x + 7)}^{2}) x) - 7 (\ln ({(x + 7)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.4.2

Riordina $\ln ({(x + 7)}^{2})$ e $- 7$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x (\ln ({(x + 7)}^{2}) x) - 7 \cdot \ln ({(x + 7)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.4.3

Semplifica $- 7 \cdot \ln ({(x + 7)}^{2})$ spostando $7$ all'interno del logaritmo.

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x (\ln ({(x + 7)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{7}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.5.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.5.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 7)}^{2}) - \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{7}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2}) - \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{7}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 7)}^{2})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2}) - \ln ({(x + 7)}^{2 \cdot 7}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.5.2.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2}) - \ln ({(x + 7)}^{14}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2})) + 9 (- \ln ({(x + 7)}^{14}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.7

Moltiplica $9 (- x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{9 x^{2} - 9 (x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2})) + 9 (- \ln ({(x + 7)}^{14}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.7.2

Semplifica $- 9 \ln ({(x + 7)}^{2})$ spostando $9$ all'interno del logaritmo.

$\frac{9 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{9})) + 9 (- \ln ({(x + 7)}^{14}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.8

Moltiplica $9 (- \ln ({(x + 7)}^{14}) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{9 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{9})) - 9 (\ln ({(x + 7)}^{14}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.8.2

Riordina $\ln ({(x + 7)}^{14})$ e $- 9$ .

$\frac{9 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{9})) - 9 \cdot \ln ({(x + 7)}^{14}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.8.3

Semplifica $- 9 \cdot \ln ({(x + 7)}^{14})$ spostando $9$ all'interno del logaritmo.

$\frac{9 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{9})) - \ln ({({(x + 7)}^{14})}^{9}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.9.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{9}) - \ln ({({(x + 7)}^{14})}^{9}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.9.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 7)}^{2})}^{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.9.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2 \cdot 9}) - \ln ({({(x + 7)}^{14})}^{9}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.9.2.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({({(x + 7)}^{14})}^{9}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.9.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 7)}^{14})}^{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.9.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{14 \cdot 9}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.9.3.2

Moltiplica $14$ per $9$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{126}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.3.2

Riordina i fattori in $9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{126}) x$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - x \ln ({(x + 7)}^{126})}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.4

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - x \ln ({(x + 7)}^{126})}{x^{1} x^{4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - x \ln ({(x + 7)}^{126})}{x^{1 + 4} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.4.2

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - x \ln ({(x + 7)}^{126})}{x^{5} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.5

Scomponi $x$ da $9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - x \ln ({(x + 7)}^{126})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Scomponi $x$ da $9 x^{2}$ .

$\frac{x (9 x) - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - x \ln ({(x + 7)}^{126})}{x^{5} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.5.2

Scomponi $x$ da $- x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18})$ .

$\frac{x (9 x) + x (- x \ln ({(x + 7)}^{18})) - x \ln ({(x + 7)}^{126})}{x^{5} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.5.3

Scomponi $x$ da $- x \ln ({(x + 7)}^{126})$ .

$\frac{x (9 x) + x (- x \ln ({(x + 7)}^{18})) + x (- \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{5} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.5.4

Scomponi $x$ da $x (9 x) + x (- x \ln ({(x + 7)}^{18}))$ .

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 7)}^{18})) + x (- \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{5} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.5.5

Scomponi $x$ da $x (9 x - x \ln ({(x + 7)}^{18})) + x (- \ln ({(x + 7)}^{126}))$ .

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{5} + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.6

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5} + 7 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5}$ .

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{4} x + 7 x^{4}}$

Passaggio 10.6.2

Scomponi $x^{4}$ da $7 x^{4}$ .

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 7}$

Passaggio 10.6.3

Scomponi $x^{4}$ da $x^{4} x + x^{4} \cdot 7$ .

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{4} (x + 7)}$

Passaggio 10.7

Espandi $\ln ({(x + 7)}^{18})$ spostando $18$ fuori dal logaritmo.

$\frac{x (9 x - x (18 \ln (x + 7)) - \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{4} (x + 7)}$

Passaggio 10.8

Espandi $\ln ({(x + 7)}^{126})$ spostando $126$ fuori dal logaritmo.

$\frac{x (9 x - x (18 \ln (x + 7)) - (126 \ln (x + 7)))}{x^{4} (x + 7)}$

Passaggio 10.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1

Scomponi $x$ da $x^{4} (x + 7)$ .

$\frac{x (9 x - x (18 \ln (x + 7)) - (126 \ln (x + 7)))}{x (x^{3} (x + 7))}$

Passaggio 10.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (9 x - x (18 \ln (x + 7)) - (126 \ln (x + 7)))}{x (x^{3} (x + 7))}$

Passaggio 10.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9 x - x (18 \ln (x + 7)) - (126 \ln (x + 7))}{x^{3} (x + 7)}$

Passaggio 10.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.10.1

Moltiplica $18$ per $- 1$ .

$\frac{9 x - 18 x \ln (x + 7) - 1 \cdot 126 \ln (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

Passaggio 10.10.2

Moltiplica $- 1$ per $126$ .

$\frac{9 x - 18 x \ln (x + 7) - 126 \ln (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

Passaggio 10.10.3

Scomponi $9$ da $9 x - 18 x \ln (x + 7) - 126 \ln (x + 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.10.3.1

Scomponi $9$ da $9 x$ .

$\frac{9 (x) - 18 x \ln (x + 7) - 126 \ln (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

Passaggio 10.10.3.2

Scomponi $9$ da $- 18 x \ln (x + 7)$ .

$\frac{9 (x) + 9 (- 2 x \ln (x + 7)) - 126 \ln (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

Passaggio 10.10.3.3

Scomponi $9$ da $- 126 \ln (x + 7)$ .

$\frac{9 (x) + 9 (- 2 x \ln (x + 7)) + 9 (- 14 \ln (x + 7))}{x^{3} (x + 7)}$

Passaggio 10.10.3.4

Scomponi $9$ da $9 (x) + 9 (- 2 x \ln (x + 7))$ .

$\frac{9 (x - 2 x \ln (x + 7)) + 9 (- 14 \ln (x + 7))}{x^{3} (x + 7)}$

Passaggio 10.10.3.5

Scomponi $9$ da $9 (x - 2 x \ln (x + 7)) + 9 (- 14 \ln (x + 7))$ .

$\frac{9 (x - 2 x \ln (x + 7) - 14 \ln (x + 7))}{x^{3} (x + 7)}$