Calcolo Esempi

$y = {\cos (7 x)}^{x}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${\cos (7 x)}^{x}$ come $e^{\ln ({\cos (7 x)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (7 x)}^{x})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({\cos (7 x)}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (7 x))}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (\cos (7 x))$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x \ln (\cos (7 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (7 x))]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (7 x))]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x \ln (\cos (7 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (7 x))]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\cos (7 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (7 x))] + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (7 x)$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (7 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (7 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\frac{1}{\cos (7 x)} \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Converti da $\frac{1}{\cos (7 x)}$ a $\sec (7 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $7 x$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.2

La derivata di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $- \sin (u_{3})$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $7 x$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- \sin (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x))) + \ln (\cos (7 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x))) + \ln (\cos (7 x)) \cdot 1)$

Passaggio 7.6

Moltiplica $\ln (\cos (7 x))$ per $1$ .

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x))) + \ln (\cos (7 x)))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} (x (\sec (7 x) (- 7 \sin (7 x)))) + e^{x \ln (\cos (7 x))} \ln (\cos (7 x))$

Passaggio 8.2

Rimuovi le parentesi.

$e^{x \ln (\cos (7 x))} x \sec (7 x) (- 7 \sin (7 x)) + e^{x \ln (\cos (7 x))} \ln (\cos (7 x))$

Passaggio 8.3

Riordina i termini.

$- 7 e^{x \ln (\cos (7 x))} x \sec (7 x) \sin (7 x) + e^{x \ln (\cos (7 x))} \ln (\cos (7 x))$