Calcolo Esempi

$y = \cos^{2} (\ln (2 x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (\ln (2 x))$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (\ln (2 x))$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \ln (2 x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Passaggio 3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) (\sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\frac{1}{u_{3}}$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{2 x}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2 x} \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.2.1

$\frac{- 2}{2 x}$ e $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x} \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.2.2

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x}$ e $\sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 (x)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.4.2

$- 2$ e $\frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$ .

$\frac{- 2 (\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \cdot 1$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Riordina $2 \cos (\ln (2 x))$ e $\sin (\ln (2 x))$ .

$- \frac{\sin (\ln (2 x)) (2 \cos (\ln (2 x)))}{x}$

Passaggio 6.2

Riordina $\sin (\ln (2 x))$ e $2$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (\ln (2 x)) \cos (\ln (2 x))}{x}$

Passaggio 6.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$- \frac{\sin (2 \ln (2 x))}{x}$

Passaggio 6.4

Semplifica $2 \ln (2 x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$- \frac{\sin (\ln ({(2 x)}^{2}))}{x}$

Passaggio 6.5

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$- \frac{\sin (\ln (2^{2} x^{2}))}{x}$

Passaggio 6.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{\sin (\ln (4 x^{2}))}{x}$