Calcolo Esempi

$y = \ln ({(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{9}{5}}$ e $g (x) = 5 x^{8} + 7 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x^{8} + 7 x$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{5}}] \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {u_{2}}^{\frac{9}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x^{8} + 7 x$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Passaggio 6.2

Sottrai $5$ da $9$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Passaggio 7

$\frac{9}{5}$ e ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5}$ per $\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}}$ .

$\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Passaggio 9

Sposta ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}} {(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Passaggio 10

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ per ${(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.1.1

Sposta ${(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{9}{5 ({(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}})} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Passaggio 10.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5} + \frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Passaggio 10.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{- 4 + 9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Passaggio 10.1.4

Somma $- 4$ e $9$ .

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Passaggio 10.1.5

Dividi $5$ per $5$ .

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Passaggio 10.2

Semplifica $5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{1}$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

Passaggio 11

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{8} + 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Passaggio 12

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{8}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (5 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (5 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [7 x])$

Passaggio 14

Moltiplica $8$ per $5$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + \frac{d}{d x} [7 x])$

Passaggio 15

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7 \cdot 1)$

Passaggio 17

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7)$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9}{5 (5 x^{8}) + 5 (7 x)} (40 x^{7} + 7)$

Passaggio 18.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 18.2.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{9}{25 x^{8} + 5 (7 x)} (40 x^{7} + 7)$

Passaggio 18.2.2

Moltiplica $7$ per $5$ .

$\frac{9}{25 x^{8} + 35 x} (40 x^{7} + 7)$

Passaggio 18.3

Riordina i fattori di $\frac{9}{25 x^{8} + 35 x} (40 x^{7} + 7)$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{25 x^{8} + 35 x}$

Passaggio 18.4

Scomponi $5 x$ da $25 x^{8} + 35 x$ .

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Passaggio 18.4.1

Scomponi $5 x$ da $25 x^{8}$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7}) + 35 x}$

Passaggio 18.4.2

Scomponi $5 x$ da $35 x$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7}) + 5 x (7)}$

Passaggio 18.4.3

Scomponi $5 x$ da $5 x (5 x^{7}) + 5 x (7)$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$

Passaggio 18.5

Moltiplica $40 x^{7} + 7$ per $\frac{9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$ .

$\frac{(40 x^{7} + 7) \cdot 9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$

Passaggio 18.6

Sposta $9$ alla sinistra di $40 x^{7} + 7$ .

$\frac{9 (40 x^{7} + 7)}{5 x (5 x^{7} + 7)}$