Calcolo Esempi

$y = \ln ({(x + 2)}^{5})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x + 2)}^{5}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 2$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 2$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$5$ e $\frac{1}{{(x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{5}{{(x + 2)}^{5}} ({(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.2.1

${(x + 2)}^{4}$ e $\frac{5}{{(x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 3.2.2

Sposta $5$ alla sinistra di ${(x + 2)}^{4}$ .

$\frac{5 \cdot {(x + 2)}^{4}}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune di ${(x + 2)}^{4}$ e ${(x + 2)}^{5}$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Scomponi ${(x + 2)}^{4}$ da $5 {(x + 2)}^{4}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.3.2.1

Scomponi ${(x + 2)}^{4}$ da ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{5}{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5}{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5}{x + 2} (1 + 0)$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{5}{x + 2} \cdot 1$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $\frac{5}{x + 2}$ per $1$ .

$\frac{5}{x + 2}$