Calcolo Esempi

$y = \log_{3} (\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x}$ come ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{3} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{3} (x)$ e $g (x) = {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\log_{3} (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ e $g (x) = 2 x^{4} - 6 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x^{4} - 6 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x^{4} - 6 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Passaggio 7.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Passaggio 9

$\frac{1}{4}$ e ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{{(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Passaggio 10

Sposta ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}}$ per $\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)}$ .

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3))} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Passaggio 12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Passaggio 13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 13.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 + 3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Passaggio 13.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Passaggio 14.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Passaggio 15

Semplifica.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Passaggio 16

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{4} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Passaggio 17

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Passaggio 18

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Passaggio 19

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Passaggio 20

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 21

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \cdot 1)$

Passaggio 22

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Passaggio 23

Semplifica.

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Passaggio 23.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{(4 (2 x^{4}) + 4 (- 6 x)) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Passaggio 23.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4 (2 x^{4}) \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Passaggio 23.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 23.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Passaggio 23.3.2

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Passaggio 23.4

Riordina i fattori di $\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)}$

Passaggio 23.5

Scomponi $8 x \ln (3)$ da $8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)$ .

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Passaggio 23.5.1

Scomponi $8 x \ln (3)$ da $8 x^{4} \ln (3)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) - 24 x \ln (3)}$

Passaggio 23.5.2

Scomponi $8 x \ln (3)$ da $- 24 x \ln (3)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)}$

Passaggio 23.5.3

Scomponi $8 x \ln (3)$ da $8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Passaggio 23.6

Moltiplica $8 x^{3} - 6$ per $\frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$ .

$\frac{8 x^{3} - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Passaggio 23.7

Elimina il fattore comune di $8 x^{3} - 6$ e $8$ .

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Passaggio 23.7.1

Scomponi $2$ da $8 x^{3}$ .

$\frac{2 (4 x^{3}) - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Passaggio 23.7.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Passaggio 23.7.3

Scomponi $2$ da $2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Passaggio 23.7.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 23.7.4.1

Scomponi $2$ da $8 x \ln (3) (x^{3} - 3)$ .

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

Passaggio 23.7.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

Passaggio 23.7.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x^{3} - 3}{4 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$